Реферат “Диференціальні рівняння вільних та вимушених коливань. Лінійне наближення”

ЗМІСТ

 

ВСТУП

І. Диференціальні рівняння вільних коливань

ІІ. Диференціальні рівняння вимушених коливань

ІІІ. Лінійне наближення

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

 

ВСТУП

 

Актуальність дослідження. У сучасному світі, де технології та наука стрімко розвиваються, вивчення та аналіз складних фізичних явищ стає важливим завданням. Для вивчення різноманітних явищ у фізиці використовуються диференціальні рівняння, зокрема ті, які описують коливання. Реферативний аналіз цих рівнянь є ключовим етапом у розумінні основних аспектів та визначенні можливих напрямків подальших досліджень.

Специфічна актуальність теми полягає в тому, що коливання грають значну роль у різних галузях, таких як механіка, аеродинаміка, електродинаміка та інші. Розуміння диференціальних рівнянь, які описують ці явища, є важливим для оптимізації технічних рішень, вдосконалення технологій та розвитку нових методів аналізу.

Вивчення коливань та їхніх математичних моделей в диференціальних рівняннях дозволяє науковцям та інженерам розуміти поведінку фізичних систем, вдосконалювати технічні рішення та розробляти нові технології. Розширений реферативний аналіз стає важливим інструментом для створення фундаменту знань, який може бути використаний для розв’язання реальних завдань у різних сферах.

Отже, диференціальні рівняння вільних та вимушених коливань, а також їхній реферативний аналіз, не лише є актуальним завданням в сучасному науковому дослідженні, але й має великий потенціал для практичного використання у вдосконаленні технологій та розвитку науки.

Мета рефератативної роботи полягає в систематизації та узагальненні знань щодо диференціальних рівнянь вільних та вимушених коливань, а також у вивченні можливостей лінійного наближення для їхнього аналізу.

 

1. Диференціальні рівняння вільних коливань

 

Власними (вільними) називаються коливання, які виникають в ізольованій системі внаслідок зовнішнього збудження, що спричинює початкові відхилення точок системи від положення рівноваги або початкові швидкості, тривають потім завдяки внутрішнім пружним силам, які відновлюють рівновагу [5].

Важливою характеристикою власних коливань є їхній згасаючий характер. Це означає, що з часом енергія системи витрачається через різноманітні опори і опори, що внаслідок цього коливання поступово припиняються. Даний тип коливань широко застосовується в фізиці, інженерії та інших галузях для моделювання руху систем та їхніх динамічних властивостей [1].

Нехай на тіло, крім квазіпружної сили  діє сила опору, яка зазвичай є пропорційною швидкості руху:

де   – стала, яку називають коефіцієнтом опору. Знак «-» зумовлений тим, що сила опору напрямлена протилежно до вектора швидкості. В такому разі, згідно з другим законом Ньютона, рух тіла визначається рівнянням:

Уведемо співвідношенн , в якому  називається коефіцієнтом згагасання.  Врахуємо також, якщо  , lt  – частота вільних гармонічних коливань під дією квазіпружної сили. Її називають власною частотою коливальної системи. Після таких замін отримуємо диференціальне рівняння загасаючих коливань:

 

Для отримання повного тексту придбайте роботу!